Question

【題目】如圖，在長方形ABCD中，AB=6，BC=8，點O在對角線AC上，且OA=OB=OC，點P是邊CD上的一個動點，連接OP，過點O作OQ⊥OP，交BC于點Q.

（1）求OB的長度；

（2）設DP= x，CQ= y，求y與x的函數表達式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（3）若OCQ是等腰三角形，求CQ的長度.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）當或時，⊿OCQ是等腰三角形.

【解析】

(1)利用勾股定理先求出AC的長，繼而根據已知條件即可求得答案；

(2)延長QO交AD于點E，連接PE、PQ ，先證明△AEO≌△CQO，從而得OE=OQ，AE=CQ=y，由垂直平分線的性質可得PE=PQ，即，在Rt⊿EDP中，有，在Rt⊿PCQ中，，繼而可求得答案；

(3)分CQ=CO，OQ=CQ，OQ=OC三種情況分別進行討論即可求得答案.

(1)∵四邊形ABCD是長方形，

∴∠ABC=90°，

∴，

∴OB=OA=OC=；

(2)延長QO交AD于點E，連接PE、PQ ，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD//BC，

∴∠AEO=∠CQO，

在△COQ和△AOE中，

，

∴△AEO≌△CQO(SAS)，

∴OE=OQ，AE=CQ=y，

∴ED=AD-AE=8-y，

∵OP⊥OQ，

∴OP垂直平分EQ，

∴PE=PQ，

∴，

∵PD=x，

∴CP=CD-CP=6-x，

在Rt⊿EDP中，，

在Rt⊿PCQ中，，

∴，

∴；

(3)分三種情況考慮：

①如圖，若CQ=CO時，此時CQ=CO=5；

②如圖，若OQ=CQ時，作OF⊥BC，垂足為點F，

∵OB=OC，OF⊥BC，

∴BF=CF=BC=4，

∴，

∵OQ=CQ，

∴，

∴，

∴，

∴ ；

③若OQ=OC時，此時點Q與點B重合，點P在DC延長線上，此情況不成立，

綜上所示，當或時，⊿OCQ是等腰三角形.