Question

【題目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿BA勻速移動，當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動，DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列問題：

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式，是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）存在，cm2；（3）存在，t=1s

【解析】試題分析：

（1）由已知條件先證△ECQ中，CQ=EC=t，由此可得AQ=8-t，由勾股定理可得AB=10，由此可得AP=AB-BP=10-2t，若點A在PQ的垂直平分線上，則有AP=AQ，由此可得關于t的方程，解此方程即可得到所求的t的值；

（2）如圖1，過點P作PM⊥BE，交BE于M，由sinB==，可得，由此可得PM=，再由S四邊形APEC=S△ABC-S△APE即可用含t的式子表達出四邊形APEC的面積了，再將所得表達式配方，即可求得當t為何值時，四邊形ABEC的面積最小了；

（3）如圖2，假設在某一時刻，點P、F、Q在同一直線上，此時，過點P作PN⊥AC于點N，則易得△PAN∽△BAC，由此可得，即，則可得PN=6﹣t ，AN=8﹣t，這樣即可得到NQ=8﹣t﹣（8﹣）=，再證△QCF∽△QNP從而可得，即 ，由此即可解得所求的t的值了.

試題解析：

（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP=AQ；

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°；

∴∠DEF=∠EQC；

∴CE=CQ；

由題意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ=t；

∴AQ=8﹣t；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

則AP=10﹣2t；

∴10﹣2t=8﹣t；

解得：t=2；

答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）如下圖1，過P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°；

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB==，

∴，

∴PM=，

∵BC=6cm，CE=t，

∴BE=6﹣t，

∴y=S△ABC﹣S△BPE

=BCAC﹣BEPM

=×6×8﹣(6﹣t)×

=

=，

∵，

∴拋物線開口向上；

∴當t=3時，y最小=；

答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2．

（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上；

如圖2，過P作PN⊥AC，交AC于N

∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；

∵∠PAN=∠BAC，

∴△PAN∽△BAC，

∴，

∴，

∴PN=6﹣t ，AN=8﹣t，

∵NQ=AQ﹣AN，

∴NQ=8﹣t﹣（8﹣）=，

∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上，

∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；

∵∠FQC=∠PQN，

∴△QCF∽△QNP；

∴，即 ；

∵0＜t＜4.5，

∴ ，

解得：t=1；

答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．