Question

【題目】已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD內的射線.

(1)如圖1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.當OB繞點O在∠AOD內旋轉時，求∠MON的大小；

(2)如圖2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.當∠BOC繞點O在∠AOD內旋轉時，求∠MON的大小；

(3)在(2)的條件下，若∠AOB＝10°，當∠B0C在∠AOD內繞著點O以2度/秒的速度逆時針旋轉t秒時，∠AOM＝∠DON.求t的值.

Answer 1

【答案】(1)∠MON的度數為80°；(2)∠MON的度數為70°或90°；(3)t的值為21.

【解析】

(1)根據角平分線的定義進行角的計算即可；

(2)分兩種情況畫圖形，根據角平分線的定義進行角的計算即可；

(3)根據(2)中前一種情況用含t的式子表示角度，再根據已知條件即可求解.

解：(1)因為∠AOD＝160°，

OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，

所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，

即∠MON＝∠MOB+∠BON

＝∠AOB+∠BOD

＝(∠AOB+∠BOD)

＝∠AOD＝80°，

答：∠MON的度數為80°；

(2)因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，

①射線OC在OB左側時，

如圖：

∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC

＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC

＝(∠AOC+∠BOD)﹣∠BOC

＝(∠AOD+∠BOC)﹣∠BOC

＝×180°﹣20°

＝70°；

②射線OC在OB右側時，

如圖：

∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC

＝∠AOC+∠BOD+∠BOC

＝(∠AOC+∠BOD)+∠BOC

＝(∠AOD﹣∠BOC)+∠BOC

＝×140°+20°

＝90°；

答：∠MON的度數為70°或90°.

(3)∵射線OB從OA逆時針以2°每秒的速度旋轉t秒，∠COB＝20°，

∴根據(2)中的第一種情況，得

∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°.

∵射線OM平分∠AOC，

∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°.

∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，

∴∠BOD＝150°﹣2t°.

∵射線ON平分∠BOD，

∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°.

又∵∠AOM：∠DON＝2：3，

∴(t+15)：(75﹣t)＝2：3，

解得t＝21.

根據（2）中的第二中情況，觀察圖形可知：這種情況不可能存在∠AOB=10°.

答：t的值為21.