Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A，B，C，已知點A（﹣1，0），點C（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）P為線段BC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

（3）設E是拋物線上的一點，在x軸上是否存在點F，使得A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（，）．（3）存在．F1（1，0），F2（2+，0），F3（2﹣，0），F4（﹣3，0）

【解析】

（1）根據拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A（1，0），點C（0，3），可以用待定系數法求得拋物線的表達式；

（2）根據函數的解析式可以求得點B的坐標，從而可以求得直線BC的解析式，設出點P、D的坐標從而可以表示出△BDC的面積，從而可以得到點P的坐標；

（3）根據題意可知AC可能為平行四邊形的邊，也可能為對角線，從而可以分為兩種情況分別求得點F的坐標．

（1）∵點A（1，0），點C（0，3）在拋物線y＝＋bx＋c上，

∴

解得b＝2，c＝3．

即拋物線的表達式是；

（2）令 ，解得＝1， ＝3，

∵點A（1，0），

∴點B的坐標為（3，0）．

設過點B、C的直線的解析式為：y＝kx＋b

，

解得k＝1，b＝3．

∴過點B、C的直線的解析式為：y＝x＋3．

設點P的坐標為（a，a＋3），則點D的坐標為（a， ），

∴PD＝（）（a＋3）＝．

∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB

＝PDa＋PD(3a)

＝ ( )a＋ ()(3a)

＝ ．

∴當a＝時，△BDC的面積最大，

∴點P的坐標為（，）．

（3）存在．

當AC是平行四邊形的邊時，則點E的縱坐標為3或3，

∵E是拋物線上的一點，

∴將y＝3代入 ，得＝0（舍去），＝2；

將y＝3代入，得 ＝1＋ ， ．

∴（2，3），（1＋，3），（，3），

則點（1，0），（2＋，0），（2，0），

當AC為平行四邊形的對角線時，則點E的縱坐標為3，

∵E是拋物線上的一點，

∴將y＝3代入，得＝0（舍去），＝2；

即點（2，3）．

則（3，0）．

點F的坐標是：（1，0），（2＋，0），（2，0），（3，0）．