Question

【題目】如圖，直線AB和拋物線的交點是A(0，-3)，B(5，9)，已知拋物線的頂點D的橫坐標是2.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)在軸上是否存在一點C，與A，B組成等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P，連接PA，PB使得△PAB的面積最大，并求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1），頂點D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）

【解析】

（1）拋物線的頂點D的橫坐標是2，則x2，拋物線過A（0，﹣3），則：函數的表達式為：y=ax2+bx﹣3，把B點坐標代入函數表達式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三種情況求解即可；

（3）由S△PABPHxB，即可求解．

（1）拋物線的頂點D的橫坐標是2，則x2①，拋物線過A（0，﹣3），則：函數的表達式為：y=ax2+bx﹣3，把B點坐標代入上式得：9=25a+5b﹣3②，聯立①、②解得：a，b，c=﹣3，∴拋物線的解析式為：yx2x﹣3．

當x=2時，y，即頂點D的坐標為（2，）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），則AB=13，設點C坐標（m，0），分三種情況討論：

①當AB=AC時，則：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4，即點C坐標為：（4，0）或（﹣4，0）；

②當AB=BC時，則：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5，即：點C坐標為（5，0）或（5﹣2，0）；

③當AC=BC時，則：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=，則點C坐標為（，0）．

綜上所述：存在，點C的坐標為：（±4，0）或（5，0）或（，0）；

（3）過點P作y軸的平行線交AB于點H．設直線AB的表達式為y=kx﹣3，把點B坐標代入上式，9=5k﹣3，則k，故函數的表達式為：yx﹣3，設點P坐標為（m，m2m﹣3），則點H坐標為（m，m﹣3），S△PABPHxB（m2+12m）=－6m2+30m=，當m=時，S△PAB取得最大值為：．

答：△PAB的面積最大值為．