Question

【題目】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，對角線AC，BD交點與點O，點P是△ADO的重心.

（1）當菱形ABCD是正方形時，則PA=________，PD=__________，PO=_________.

（2）線段PA，PD，PO中是否存在長度保持不變的線段，若存在，請求出該線段的長度，若不存在，請說明理由．

（3）求線段PD，DO滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；2 （2）存在；PO=2 （3）見解析

【解析】

（1）由正方形的性質和勾股定理可求出AE的長，由P點是△ADO的重心，根據重心的性質即可求出PA，PD的長，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出OP的長；

（2）延長OP交AD于G，由OG是Rt△AOD的斜中線可知OG=3，再利用重心的性質可得OP為定值；

（3）延長DP交AC于F，由菱形的對角線互相垂直及勾股定理可得，在△AOD中，由勾股定理得，即可得出線段PD，DO滿足的等量關系．

（1）PA=，PD=，PD=2

當菱形ABCD是正方形時，如圖，

∵正方形邊長為6，點P是△ADO的重心，

∴,，

由勾股定理得，

，

∴，

∴PD=，

∵OG是△ADO的中線，

∴OG=,

∴；

（2）延長OP交AD于G

∵OG是Rt△AOD的斜中線

∴OG=

∵P為重心

∴PO=

∴PO為定值.

（3）延長DP交AC于F