Question

【題目】如圖，△ABC內接于以AB為直徑的⊙O，過點A作⊙O的切線，與BC的延長線相交于點D，在CB上截取CE＝CD，連接AE并延長，交⊙O于點F，連接CF．

（1）求證：AC＝CF；

（2）若AB＝4，sinB，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF

【解析】

（1）先根據圓的切線性質和圓周角定理得，從而可得，再根據等腰三角形的性質可得，然后由圓周角定理可得，等量代換得，最后根據等角對等邊即可得證；

（2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性質得，由題（1）可知，因此只需求出BE的長即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的長，然后在中，解直角三角形可得CD的長，從而可得DE的長，最后根據線段的和差可得BE的長.

（1）∵AD是⊙O的切線

∵AB是⊙O的直徑

是等腰三角形，且

（等腰三角形的三線合一性質）

又（圓周角定理）

；

（2）由（1）可知，

在中，

設，則

在中，，即

，即

又

故EF的長為.