Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且交y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段BC上的點（不與B、C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長；

（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，當m＝時，△BNC的面積最大，最大值為

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長；

（3）根據題（1）（2）的結論，列出關于m的表達式，再利用函數的性質求解的最大值即可.

（1）拋物線經過點兩點，代入得：

，解得：

則拋物線的解析式為；

（2）由拋物線可知，

因此，設直線BC的解析式為：

代入得

解得：

則直線BC的解析式：

已知點M的橫坐標為m，且軸，則；

則

故MN的長為；

（3）存在點M，使的面積最大

如圖，過點M作軸于點D

則

即

由二次函數的性質可知：當時，隨m的增大而增大；當時，隨m的增大而減小

則當時，的面積最大，最大值為.