Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．

①求證：BD⊥CF；
②當AB=2，AD=3 時，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②連接DF，延長AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形，AD=3 ，AB=2，

∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，

∵△ABC繞點A逆時針旋轉45°，

∴∠BAD=45°，

∴AM⊥DF，

∴DB= = ，

∵∠MAD=∠MDA=45°，

∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，

∴△DMB∽△DHF，

∴ = ，即 = ，

解得，DH= ．

（2）

解：①由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②連接DF，延長AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形，AD=3 ，AB=2，

∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，

∵△ABC繞點A逆時針旋轉45°，

∴∠BAD=45°，

∴AM⊥DF，

∴DB= = ，

∵∠MAD=∠MDA=45°，

∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，

∴△DMB∽△DHF，

∴ = ，即 = ，

解得，DH= ．

【解析】（1）根據旋轉變換的性質和全等三角形的判定定理證明△CAF≌△BAD，證明結論；（2）①根據全等三角形的性質、垂直的定義證明即可；
②連接DF，延長AB交DF于M，根據題意和等腰直角三角形的性質求出DM、BM的長，根據勾股定理求出BD的長，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可得到答案．