Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知點A(0，5)，點P(m，5)在第二象限，連接AP、OP

(1) 如圖1，若OP＝6，求m的值

(2) 如圖2，點C在x軸負半軸上，以CP為斜邊作直角三角形BCP，∠CBP＝90°，且∠BPC＝∠APO．取OC的中點D，連接AD、BD，求證：AD＝BD

(3) 如圖3，將△AOP沿直線OP翻折得到△EOP（點A的對應點為點E）．若點E到x軸的距離不大于3，直接寫出m的取值范圍（無需解答過程）

Answer 1

【答案】（1）- （2）證明見解析（3）-10≤m≤-

【解析】

（1）根據勾股定理計算PA的長，可得m的值；

（2）如圖2，作輔助線，構建平行四邊形PMDN，得PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，又M、N分別為Rt△PBC、Rt△PAO斜邊的中點，可得BM=MP，AN=PN，證明△DNA≌△BMD，得AD=BD；

（3）由條件可知點E的縱坐標大于或等于-3小于或等于3，分別計算點E的縱坐標為3和-3時m的值可得m的取值范圍．

（1）由點A（0，5），點P（m，5）可知PA⊥y軸，

∵OP=6，OA=5，

由勾股定理可求PA=，

∴m=-；

（2）如圖2，取CP、OP中點M、N，連接DM、DN、BM、AN，

∵D、M、N分別為OC、PC、PO的中點，

∴DM∥PO，DN∥PC，

∴四邊形PMDN是平行四邊形，

∴PM=DN，DM=PN，∠PMD=∠PND，

又M、N分別為Rt△PBC、Rt△PAO斜邊的中點，

∴BM=MP，AN=PN，

∵∠BPC=∠APO

∴∠BMP=∠ANP，

∴∠BMP+∠PMD=∠ANP+∠PND，

∴∠DNA=∠BMD，

∴△DNA≌△BMD，

∴AD=BD；

（3）由條件可知點E的縱坐標大于或等于-3小于或等于3，

①當點E的縱坐標為3時，如圖4，過點E作ES⊥x軸于S，交直線AP于R，

在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，可求OS=AR=4，RE=2，

∵PA=PE=-m，PR=4+m，

在Rt△PRE中，由22+（4+m）2=（-m）2，

解得：m=；

②當點E的縱坐標為-3時，如圖5，過點E作ES⊥x軸于S，交直線AP于R，

在Rt△OES中，OE=OA=5，ES=3，

∴OS=AR=4，

∴PR=10-4=6，

由勾股定理得：RE==8，

∵PA=PE=-m，PR=-4-m，

在Rt△△PRE中，由82+（4+m）2=（-m）2，

解得：m=-10，

綜上所述，當-10≤m≤時，點E到x軸的距離不大于3.