Question

【題目】如圖（1），A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，試證明BD平分EF，若將△DEC的邊EC沿AC方向移動變為圖（2）時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）成立．

【解析】

試題分析：（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，從而得出FG=EG，即BD平分EF；

（2）結論仍然成立，同樣可以證明得到．

試題解析：（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°，∵AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG=EG，即BD平分EF；

（2）FG=EG，即BD平分EF的結論依然成立．

理由：如圖2，連接BE、FD．∵AE=CF，FE=EF，∴AF=CE，∵DE垂直于AC，BF垂直于AC，∴∠AFB=∠CED，BF∥DE，∴在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AF=CE，AB=CD，∴△ABF≌△CDE（HL），∴BF=DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴GE=GF，即：BD平分EF，即結論依然成立．