Question

【題目】如圖，邊長為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點，一束光線自P0發出射到AC上的點P1后，依次反射到AB、BC上的點P2和P3（反射角等于入射角）．

（1）若∠P2P3B=45°，CP1=；
（2）若 ＜BP3＜ ，則P1C長的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2） ＜P1C＜
【解析】解：（1）過P0作P0H⊥AC于H，
∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P3B，
∴∠CP1P0=∠P2P3B=45°，
∴P0H=P1H，
∵P0是BC邊的中點，
∴CP0=1，
∴CH= ，P0H=P1H= ，
∴CP1= + = ；
所以答案是： ；（2）∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴ = = ，
設P1C=x，P2A=y，則P1A=2﹣x，P2B=2﹣y．
∴ = ，
∴ ，
∴x= （2+P3B），
又∵ ＜BP3＜ ，
∴ ＜x＜ ，
即P1C長的取值范圍是： ＜P1C＜ ，
所以答案是： ＜P1C＜ ．

【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．