Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的圖形P和直線AB，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為直線AB上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P和直線AB之間的“確定距離”，記作d（P，直線AB）．

已知A(2，0)，B(0，2)．

（1）求d（點O，直線AB）；

（2）⊙T的圓心為半徑為1，若d(⊙T，直線AB)≤1，直接寫出t的取值范圍；

（3）記函數的圖象為圖形Q．若d(Q，直線AB)=1，直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）t的值為2-2≤t≤2+2；（3）k的值為-3+或1-．

【解析】

（1）如圖1中，作OH⊥AB于H．求出OH即可解決問題．
（2）如圖2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．分兩種情形求出d（⊙T，直線AB）=1時，點T的坐標即可．
（3）當直線經過點D（2-，0）與直線AB平行時，此時兩直線之間的距離為1，該直線的解析式為y=-x+2-，求出直線y=kx經過點E，點F時，k的值即可．

（1）如圖1中，作OH⊥AB于H．

∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，AB=2，
∵×OA×OB=×AB×OH，
∴OH=，
∴d（點O，直線AB）；
（2）如圖2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．

當d（⊙T，直線AB）=1時，DH=1，
∴TH=2，AT=2，
∴OT=2-2，
∴T（2-2，0），
根據對稱性可知，當⊙T在直線AB的右邊，滿足d（⊙T，直線AB）=1時，T（2+2，0），
∴滿足條件的t的值為2-2≤t≤2+2．
（3）如圖3中，

當直線經過點D（2-，0）與直線AB平行時，此時兩直線之間的距離為1，該直線的解析式為y=-x+2-，
當直線y=kx經過E（1，1-）時，k=1-，
當直線y=kx經過F（-1，3-），k=-3+，
綜上所述，滿足條件的k的值為-3+或1-．