Question

【題目】如果的兩個端點分別在的兩邊上(不與點重合)，并且除端點外的所有點都在的內部，則稱是的“連角弧”．

(1)圖1中，是直角，是以為圓心，半徑為1的“連角弧”．

①圖中的長是______，并在圖中再作一條以為端點、長度相同的“連角弧”；

②以為端點，弧長最長的“連角弧”的長度是_______．

(2)如圖2，在平面直角坐標系中，點，點在軸正半軸上，若是半圓，也是的“連角弧”，求的取值范圍．

(3)如圖3，已知點分別在射線上，是的“連角弧”，且所在圓的半徑為，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ①，作圖見解析；② ；(2) 1≤t≤3；(3) 0°<∠AOB≤30°；

【解析】

(1) ①根據弧長公式計算，即可得到答案；以ON、OM為邊長做正方形OMHN，再以H為圓心，OM為半徑畫弧，即可得到；②根據直徑所對的弧長最長，計算即可得到答案；

(2)當MN垂直x軸交x軸于N點時，此時t最小；當MN垂直ON時，此時t最大，分這兩種情況分別求出t即可得到t的范圍；

(3)分OM⊥MN時，取到角度最大值，計算求解出角度的大小即可得到答案；

(1) ①根據弧長公式得到：；

以ON、OM為邊長做正方形OMHN，再以H為圓心，OM為半徑畫弧，得到一條以為端點、長度相同的“連角弧”；作圖如下：

②為端點，取得弧長最長的“連角弧”時，即當圓與OA,和OB分別相切于點M,N點時，

∵OM=ON=1，

∴，

即以為端點，弧長最長的“連角弧”的長度是；

(2)當MN垂直x軸交x軸于N點時，此時t最小，如果N再向左，則MN不是直徑，即是半圓，所以如圖取得最小值：

∵，

∴，并且∠MON=60°，

∴ON=1（直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

即此時t=1；

當MN垂直ON時，此時t最大，如果N再向右，則是不是半圓，如圖t取得最大值：

∵，

∴，并且∠MON=30°，

∴ON=4（直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半）；

綜上，t的范圍是1≤t≤4；

(3) 0°<∠AOB≤30°