Question

【題目】如圖，已知BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC于E，且AB+BC=2BE.

(1)求證：∠BAD+∠BCD=180°；

(2)若將條件“AB+BC=2BE”與結論“∠BAD+∠BCD=180°”互換，結論還成立嗎?請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論仍然成立，理由見解析；

【解析】

（1）首先過D作DF⊥BA，垂足為F，再根據條件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE，再證明Rt△BFD≌Rt△BED，可得FB=BE，即AB+AF=BE，進而得到AF=EC，然后再證明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD，再根據∠BAD+∠FAD=180°，可得∠BAD+∠BCD=180°；

（2）過D作DF⊥BA，垂足為F，首先證明∠DCE=∠FAD，再證明△AFD≌△CED，可得AF=EC，然后證明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE，再根據線段的和差關系可得AB+BC=2BE．

(1)證明：過D作DF⊥BA，垂足為F，

∵AB+BC=2BE，

∴AB=BE+BEBC，

AB=BE+BEBEEC，

AB=BEEC，

AB+EC=BE，

∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，

在Rt△BFD和Rt△BED中 ，

∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL)，

∴FB=BE，

∴AB+AF=BE，

又∵AB+EC=BE，

∴AF=EC，

在△AFD和△CED中 ，

∴△AFD≌△CED(SAS)，

∴∠DCE=∠FAD，

∵∠BAD+∠FAD=180°，

∴∠BAD+∠BCD=180°；

(2)可以互換，結論仍然成立，理由如下：

過D作DF⊥BA，垂足為F，

∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠DCE=∠FAD，

∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF=DE，

在△AFD和△CED中 ，

∴△AFD≌△CED(AAS)，

∴AF=EC，

在Rt△BFD和Rt△BED中 ，

∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL)，

∴FB=BE，

∴AB+AF=BE，

AB=BEAF=BEEC=BE(BCBE)=BEBC+BE=2BEBC，

即：AB+BC=2BE.