Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于M，交AC于N．

（1）若∠ABC=70°，則∠MNA的度數是__．

（2）連接NB，若AB=8cm，△NBC的周長是14cm．

①求BC的長；

②在直線MN上是否存在P，使由P、B、C構成的△PBC的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】50°．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根據線段的垂直平分線的性質得出AN=BN，進而得出∠ABN=∠A=40°，根據三角形的內角和定理可得出∠ANB=100°，根據等腰三角形三線合一就可求得∠MNA=50°；

（2）①根據△NBC的周長=BN+CN+BC=AN+NC+BC就可求得.

②根據對稱軸的性質，即可判定P就是N點，所以△PBC的周長最小值就是△NBC的周長.

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠A=40°，

∵MN是AB的垂直平分線，

∴AN=BN，

∴∠ABN=∠A=40°，

∴∠ANB=100°，

∴∠MNA=50°；

故答案為50°．

（2）①∵AN=BN，

∴BN+CN=AN+CN=AC，

∵AB=AC=8cm，

∴BN+CN=8cm，

∵△NBC的周長是14cm．

∴BC=14﹣8=6cm．

②∵A、B關于直線MN對稱，

∴連接AC與MN的交點即為所求的P點，此時P和N重合，

即△BNC的周長就是△PBC的周長最小值，

∴△PBC的周長最小值為14cm．