【題目】如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連AI并延長交BC和⊙O于D、E兩點.
（1）求證：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的長.
【答案】（1）見解析；（2）AI=2.
【解析】分析：（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據三角形的外角的性質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點,以及圓周角定理的推論即可證明.
（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=
，再由同弦所對的圓周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可.
詳解：（1）連BI.如圖，
∵I是△ABC的內心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，
∴∠IBE=∠BIE，
∴EB＝EI.
（2）設AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA，即： DE=.
又∵∠E=∠C(同弦的圓周角相等)，∠BAE=∠CAE.
∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，
4×3=（x+2）（）,
解得x=2，即AI=2.
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【題目】為了發展校園足球運動，某城區五校決定聯合購買一批足球服和足球．經過市場調查發現：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球服和足球，已知每套足球服比每個足球多60元，兩套足球服與三個足球的費用相等．經洽談，甲商場的優惠方案是：每購買20套足球服，送一個足球；乙商場的優惠方案是：若購買足球服超過80套，則購買的足球打八折，若購買足球服不超過80套，不打折．
（1）求每套足球服和每個足球的價格各是多少元；
（2）若城區五校聯合購買120套足球服和
（
）個足球，假如你是本次購買任務的負責人，你會選擇到甲、乙兩家中的哪一家商場購買更便宜？請說明理由．
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【題目】如圖，在邊長為6的正方形ABCD內部有兩個大小相同的長方形AEFG、HMCN，HM與EF相交于點P，HN與GF相交于點Q，AG=CM=x，AE=CN=y．
（1）用含有x、y的代數式表示長方形AEFG與長方形HMCN重疊部分的面積S四邊形HPFQ，并求出x應滿足的條件；
（2）當AG=AE，EF=2PE時，
①AG的長為_______；
②四邊形AEFG旋轉后能與四邊形HMCN重合，請指出該圖形所在平面內能夠作為旋轉中心的所有點，并分別說明如何旋轉的．
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【題目】如圖，點O在直線AB上，OD是∠AOC的平分線，OE是∠BOC的平分線．
（1）圖中與∠AOD互余的角是 ，與∠COE互補的角是 ；（把符合條件的角都寫出來）
（2）求∠DOE的度數；
（3）如果∠BOF=51°34'，∠COE=38°43'，請畫出射線OF，求∠COF的度數．
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【題目】某中學庫存若干套桌椅，準備修理后支援貧困山區學校。現有甲、乙兩木工組，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲單獨修完這些桌椅比乙單獨修完多用20天，學校每天付甲組80元修理費，付乙組120元修理費。
(1)該中學庫存多少套桌椅？
(2)在修理過程中，學校要派一名工人進行質量監督，學校負擔他每天10元生活補助費，現有三種修理方案:a、由甲單獨修理；b、由乙單獨修理；c、甲、乙合作同時修理。你認為哪種方案省時又省錢？為什么？
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【題目】如圖:四邊形ABDC中,CD=BD,E為AB上一點,連接DE,且∠CDE=∠B.若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,則EB=______________。
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【題目】已知,四邊形ABCD是菱形,點M、N分別在AB、AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,點F、G分別在BC、CD上,MG與NF相交于點E；
(1)如圖,求證:四邊形AMEN是菱形；
(2)如圖,連接AC，在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出面積相等的四邊形；
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【題目】如圖，□ABCD中，E為BC邊上一點，且AE交DC延長線于F，連接BF，下列關于面積的結論中錯誤的是( )
A.S△ABF =S△ADEB.S△ABF =S△ADF
C.S△ABF=
S□ABCDD.S△ADE=S□ABCD
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