Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側）與y軸交于點C．

（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時，求點P的橫坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；（2）點P的橫坐標為6；（3）QP=7．

【解析】試題分析：（1）通過解方程ax2-5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點坐標，再把C點坐標代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2-5ax+4a），則PD=-ax2+5ax，通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到點P的橫坐標；

（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），則可得到-10a=6-1，解得a=-，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，則K（6，2），然后利用待定系數法求出直線KB的解析式為y=x-4，再通過解方程組得到Q（-1，-5），利用P、Q點的坐標可判斷PQ∥x軸，于是可得到QP=7．

試題解析：（1）當y=0時，ax2-5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴4OC=3，解得OC=2，則C（0，-2），

把C（0，-2）代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x-2；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2-5ax+4a），則PD=4a-（ax2-5ax+4a）=-ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（-ax2+5ax）：（-4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點P的橫坐標為6；

（3）過點作FG⊥PK于點G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴-10a=6-1，解得a=-，

在Rt△PFG中，∵PF=-4a=2，∠FPG=45°，

∴FG=PG=PF=2，

在△AKH和△KFG中

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得

，

解得 ，

∴直線KB的解析式為y=x-4，

當a=-

時，拋物線的解析式為y=-x2+x-2，

解方程組，

解得 或 ，

∴Q（-1，-5），

而P（6，-5），

∴PQ∥x軸，

∴QP=7．