Question

【題目】如圖，在中，于點，動點從點出發以每秒個單位長度的速度向終點運動，當點與點不重合時，過點作交邊于點，以為邊作使點在點的下方，且，設與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為秒．

（1）的長為 ；

（2）當點落在邊上時，求的值；

（3）當與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數關系式；

（4）若射線與邊交于點連結，當的垂直平分線經過的頂點時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）當0＜t≤時，；≤t＜2時，；（4）或或．

【解析】

（1）由勾股定理計算出BD即可得到CD的長度；

（2）當點F落在BC上時，四邊形BFEP為平行四邊形，利用銳角三角函數的定義表達出BF，根據PE=BF列出方程解答即可；

（3）分別求出當EF經過點D時，以及當點F在邊BC上時的時間t，再分類討論，當0＜t≤時，重疊部分為四邊形PNDM；≤t＜2時，△PEF與△ABD重疊的部分為四邊形PFHG，分別根據銳角三角函數的定義以及相似三角形的相似比，表達出面積即可；

（4）分三種情況討論，①當PQ的中垂線過點B時，證明平行四邊形PBQE是菱形，再根據PE=BP列出等式求解即可；②當PQ的中垂線過點A時，在Rt△AQD中，根據AD2+QD2=AQ2即可解答；③當PQ的中垂線經過點C時，根據CQ=PC列出等式即可解答．

（1）由題意可知，BD=，

∴CD=BC-BD=10-8=2，

故答案為：2；

（2）如圖，當點F落在BC上時，由題意可知，BP=5t，則AP=10-5t，

∵PE∥BC，EF∥AB，

則四邊形BFEP為平行四邊形，且∠AEP=∠ACB，

又∵∠ACB=∠BAC，

∴∠AEP=∠BAC，

∴PE=AP=10-5t，

又∵cosB=，

∴，則BF=4t，

∵四邊形BFEP為平行四邊形，

∴PE=BF，即，解得：，

（3）①如下圖所示，當EF經過點D時，

∵PE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形PBDE是平行四邊形，且∠DEC=∠BAC，

∴DE=BP=5t，∠DEC=∠C，

∴DE=DC，即5t=2，解得t=，

∴當0＜t≤時，重疊部分為四邊形PNDM，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PND=90°，

又∵∠ADB=90°，

∴四邊形PNDM為矩形，

在RT△BPN中，sinB=，即，解得PN=3t，

cosB=，即，解得BN=4t，

∴DN=8-4t，

∴S=PN·DN=，

②當點F在邊BC上時，如圖，

由①可知BF=4t，PF=3t，則CF=10-4t，

由EF=CF可得：5t=10-4t，解得：，

∴≤t＜2時，△PEF與△ABD重疊的部分為四邊形PFHG，

∵PE∥BC，

∴△APG∽△ABD，

∴，即，解得：PG=，

∵PE=AP=10-5t，

∴GE=10-5t-=，

∵EF∥AB，

∴∠EHG=∠BAD，

∴tan∠EHG=tan∠BAD，即，

∴，解得：GH=，

又∵∠PFE=∠EHG，則∠PFE=∠BAD

∴tan∠PFE=tan=∠BAD，即，解得：PF=，

∴，

綜上所述：當0＜t≤時，；≤t＜2時，；

（4）①當PQ的中垂線過點B時，如圖，即BE是PQ的中垂線，

∵四邊形PBQE是平行四邊形，BE垂直PQ，

∴平行四邊形PBQE是菱形，

∴PE=BP，即5t=10-5t，解得：t=1，

②當PQ的中垂線過點A時，如圖，連接AE，則AP=AQ=10-5t，

∵CQ=EQ=5t，

∴QD=CQ-CD=5t-2，

∴在Rt△AQD中，AD2+QD2=AQ2，即，解得：，

③當PQ的中垂線經過點C時，如圖，連接PC，延長PF交BC于點K，

則CQ=PC，

∵∠EPF=90°，PE∥BC，

∴∠PKC=90°，

∵BK=4t，PK=3t，則CK=10-4t，

∴PC=，

又∵CQ=QE=BP=5t，

∴5t=，解得：，

綜上所述：或或．