Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點E在對角線AC上，連接BE、DE，

（1）如圖1，作EM⊥AB交AB于點M，當AE=時，求BE的長；

（2）如圖2，作EG⊥BE交CD于點G，求證：BE=EG；

（3）如圖3，作EF⊥BC交BC于點F，設BF=x，△BEF的面積為y．當x取何值時，y取得最大值，最大值是多少？當△BEF的面積取得最大值時，在直線EF取點P，連接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的長度．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析(3)

【解析】試題分析：（1）過點E作EM⊥AB，交AB于點M，易得AM=EM=1，再由勾股定理求得BE=；

（2）易證△BCE≌△DCE，得BE=DE，進而證明∠EDG=∠EGD，得EG=ED，從而得出結論；

（3）根據三角形面積公式得函數關系式，從而得出結論.

試題解析：（1）過點E作EM⊥AB，交AB于點M，

∵AE=，所以AM=EM=1，

∴BM=3，

∴BE=

（2）易證△BCE≌△DCE，

∴ BE=DE，∠CBE=∠CDE

∵EG⊥BE，∠BCD=90°，

∴∠CBE+∠CGE=∠CGE+∠EGD=180°

∴∠CBE=∠EGD

∴∠EDG=∠EGD

∴EG=ED

∴EG=BE

（3）

當時，

如圖，容易求得∠EPC=∠ECP=22.5°，

∴PE=CE=，