Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線；

（2）當BC=4，AC=6時，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析; (2) ;(3)1

【解析】試題分析：（1）連接OM，如圖1，先證明OM∥BC，再根據等腰三角形的性質判斷AE⊥BC，則OM⊥AE，然后根據切線的判定定理得到AE為⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，利用等腰三角形的性質得到BE=CE=BC=2，再證明△AOM∽△ABE，則利用相似比得到，然后解關于r的方程即可；

（3）作OH⊥BE于H，如圖，易得四邊形OHEM為矩形，則HE=OM=，所以BH=BE-HE=，再根據垂徑定理得到BH=HG=，所以BG=1．

試題解析：（1）證明：連接OM，如圖1，

∵BM是∠ABC的平分線，

∴∠OBM=∠CBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠CBM=∠OMB，

∴OM∥BC，

∵AB=AC，AE是∠BAC的平分線，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE為⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，

∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分線，

∴BE=CE=BC=2，

∵OM∥BE，

∴△AOM∽△ABE，

∴，即，解得r=，

即設⊙O的半徑為；

（3）解：作OH⊥BE于H，如圖，

∵OM⊥EM，ME⊥BE，

∴四邊形OHEM為矩形，

∴HE=OM=，

∴BH=BE﹣HE=2﹣=，

∵OH⊥BG，

∴BH=HG=，

∴BG=2BH=1．