Question

【題目】在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連接BD，直線l與AB，BD，BC分別相交于點E，P，F，且∠BPF=60°.

(1)如圖(1)，寫出圖中所有與△BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；

(2)若直線l向右平移到圖(2)，圖(3)的位置時（其它條件不變），(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不需證明），若不成立，請說明理由；

(3)探究：如圖(1)，當BD滿足什么條件時（其它條件不變），EF=BF？請寫出探究結果，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)先判斷出∠BPF=∠EBF=60°，再結合公共角即可得出結論；

(2)同(2)的方法即可得出結論；

(3)由BD平分∠ABC得到∠ABP=∠PBF=30°，再由∠BPF=60°得到∠BEP=90°，從而得到∠BEF=30°，再利用銳角三角函數tan60°=即可得出結論．

（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD.

以△BPF∽△EBF為例，證明如下：

∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，

∴△BPF∽△EBF.

（2）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD成立.

（3）當BD平分∠ABC時，EF=BF.理由如下：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBF=30°.

∵∠BPF=60°，

∴∠BEP=90°，

∴∠BEF=60°-30°=30°.

在Rt△BEF中，∠EBF=60°，

∴tan60°=，即EF=BF.