Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線，切點為D，連接BD，過點B作射線PD的垂線，垂足為C．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)

【解析】

（1）連接OD，證明OD∥BC，再由OB=OD證明∠OBD=∠ODB，進而得結論；
（2）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形得到BD=4，BC=，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵PD是⊙O的切線，

∴OD⊥PC，

∵BC⊥PC，

∴OD∥BC，

∴∠ODB＝∠CBD，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠CBD＝∠OBD，

即BD平分∠ABC；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵sin∠CBD＝sin∠ABD，AB＝6，

∴AD＝2，

∴BD＝4，

∵sin∠CBD，

∴CD，

∴BC，

∵OD∥BC，

∴△PDO∽△PCB，

∴，

∴，

∴PD．