Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：如圖1，在數學活動課上，老師讓同學們畫了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并連接CE，BD．

操作發現：（1）當等腰Rt△ADE繞點A旋轉，如圖2，勤奮小組發現了：

①線段CE與線段BD之間的數量關系是　 　．

②直線CE與直線BD之間的位置關系是　 　．

類比思考：（2）智慧小組在此基礎上進行了深入思考，如圖3，若△ABC與△ADE都為直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，請你寫出CE與BD的數量關系和位置關系，并加以證明．

拓展應用：（3）創新小組在（2）的基礎上，又作了進一步拓展研究，當點E在直線AB上方時，若DE∥AB，且AB＝，AD＝1，其他條件不變，試求出線段CE的長．（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（1）EC=BD; BD⊥EC;(2) CE＝2BD，CE⊥BD．理由見解析；（3）4.

【解析】

（1）如圖2中，延長BD交AC于點O，交EC于H．證明△EAC≌△DAB（SAS），即可解決問題．

（2）結論：CE＝2BD，CE⊥BD．如圖3中，延長BD交AC于點O，交EC于點H．證明△ABD∽△ACE，即可解決問題．

（3）如圖4中，當DE∥AB時，設DE交AC于H，易證AC⊥DE．求出EH，CH，理由勾股定理即可解決問題．

（1）如圖2中，延長BD交AC于點O，交EC于H．

∵AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝90°，

∴∠EAC＝∠DAB，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴EC＝BD，∠ECA＝∠ABD，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，

∴∠ECA+∠COH＝90°，

∴∠CHO＝90°，

∴BD⊥EC，

故答案為EC＝BD，BD⊥EC．

（2）結論：CE＝2BD，CE⊥BD．

理由：如圖3中，延長BD交AC于點O，交EC于點H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AC＝2AB，AE＝2AD，

∴，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∴CE＝2BD，∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，

∴∠ECA+∠COH＝90°，

∴∠CHO＝90°，

∴BD⊥EC．

（3）如圖4中，當DE∥AB時，設DE交AC于H，易證AC⊥DE．

∵AE＝2AD，AD＝1，

∴AE＝2，DE＝，，，

∵AC＝2AB，AB＝，

∴CH＝AC﹣AH＝，

在Rt△ECH中，EC＝．