Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點．

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為2，∠B＝50°，AC＝6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切，見解析；（2）6-π

【解析】

（1）連接OE、OD，根據切線的性質得到∠OAC＝90°，根據三角形中位線定理得到OE∥BC，證明△AOE≌△DOE，根據全等三角形的性質、切線的判定定理證明；

（2）根據扇形的面積公式計算即可．

解：（1）直線DE與⊙O相切，

理由如下：連接OE、OD，如圖，

∵AC是⊙O的切線，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∵點E是AC的中點，O點為AB的中點，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵DE、AE是⊙O的切線，

∴DE＝AE，

∵點E是AC的中點，

∴AE＝AC＝3，

∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴圖中陰影部分的面積＝2××2×3﹣＝6-π．