Question

【題目】注意：為了使同學們更好地解答本題的第（Ⅱ）問，我們提供了一種分析問題的方法，你可以依照這個方法按要求完成本題的解答，也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進行解答即可．

如圖，將一個矩形紙片，放置在平面直角坐標系中，，，，是邊上一點，將沿直線折疊，得到．

（Ⅰ）當平分時，求的度數和點的坐標；

（Ⅱ）連接，當時，求的面積；

（Ⅲ）當射線交線段于點時，求的最大值．（直接寫出答案）

在研究第（Ⅱ）問時，師生有如下對話：

師：我們可以嘗試通過加輔助線，構造出直角三角形，尋找方程的思路來解決問題．

小明：我是這樣想的，延長與軸交于點，于是出現了．

小雨：我和你想的不一樣，我過點作軸的平行線，出現了兩個．

Answer 1

【答案】（I），；（II）；（III）的最大值為．

【解析】

（Ⅰ）由折疊的性質得：△ANM≌△ADM，由角平分線結合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函數可求DM的長，寫出M的坐標；

（Ⅱ）如圖2，作輔助線，構建直角三角形，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得關于x的方程：（x+1）2=32+x2，求出x，得出AB是AQ的，即可得出△NAQ和△NAB的關系，得出結論；

（III）如圖3，過A作AH⊥BF于H，證明△ABH∽△BFC，得，Rt△AHN中，AH≤AN=3，AB=4，可知：當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，如圖4所示，求此時DF的長即可．

（I）如圖

，，，

，，

由折疊得：，

，

平分，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

，；

（II）延長交的延長線于點，

四邊形是矩形，

，

，

由折疊得：，

，，，

，

，

設，則，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，，

；

（III）如圖3，過作于，

四邊形是矩形，

，

，

，

，

中，，，

當點、重合（即）時，最大，最小，最小，最大，此時點、重合，、、三點共線，如圖4所示，

由折疊得：，

，

，

在和中，

，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值為．