Question

【題目】（題文）如圖，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，將△MNC繞點C順時針旋轉60°，得到△ABC，連接AM，BM，BM交AC于點O.

(1)∠NCO的度數為________；

(2)求證：△CAM為等邊三角形；

(3)連接AN，求線段AN的長．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）由旋轉可得∠ACM=60°，再根據等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，運用角的和差關系進行計算即可得到∠NCO的度數；

（2）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形進行證明即可；

（3）根據△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，判定△ACN≌△AMN，再根據Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，即可得到AN=AD﹣ND=﹣1．

（1）由旋轉可得∠ACM=60°．

又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，∴∠NCO=60°﹣45°=15°；

故答案為：15°；

（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，∴△CAM為等邊三角形；

（3）連接AN并延長，交CM于D．

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，∴NC=NM=，CM=2，AC=AM=2．在△ACN和△AMN中，∵，∴△ACN≌△AMN（SSS），∴∠CAN=∠MAN，∴AD⊥CM，CD=CM=1，∴Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，∴AN=AD﹣ND=﹣1．