Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，C，D分別是OA，AB的中點，△AOB的外角∠DBF的平分線BE與CD的延長線交于點E.

(1)求證：∠DAO＝∠DOA；

(2)①若b＝－8，求CE的長；

②若CE＝＋1，則b＝________；

(3)是否存在這樣的b值，使得四邊形OBED為平行四邊形？若存在，請求出此時四邊形OBED對角線的交點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) ①9；②－2；(3)見解析.

【解析】(1)由C，D分別為AO，AB的中點，得到CD∥OB．又由OB⊥AO，得到CD垂直平分AO，由垂直平分線的性質即可得到結論．

(2)①由三角形中位線定理得到CD的長，由角平分線的定義和平行線的性質得到∠DEB＝∠DBE，從而得到ED＝BD＝5，即可得到結論．

②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，列方程求解即可得到結論．

(3)由四邊形OBED是平行四邊形，得OB＝ED．由ED＝BD＝AB，得到AB＝－2b，于是有(－b)2＋62＝(－2b)2，解方程得到b的值，進而得到AB的長．設平行四邊形OBED的對角線交點為M，作MH⊥OB于點H，則BM＝BD＝AB．由OD＝DB＝OB，得到∠DBO＝60°，∠BMH＝30°，從而可得到BH，MH， OH，即可得到結論．

(1)∵C，D分別為AO，AB的中點，∴CD∥OB．

又∵OB⊥AO，∴CD⊥AC，∴CD垂直平分AO，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA．

(2)①∵b＝－8，∴OB＝8，∴CD＝OB＝4．易得∠DEB＝∠DBE，∴ED＝BD＝AB＝＝5，∴CE＝CD＋ED＝4＋5＝9．

②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，∴，解得：b=－2．故答案為：－2．

(3)存在．理由如下：

如圖，∵四邊形OBED是平行四邊形，∴OB＝ED．

∵ED＝BD＝AB，∴OB＝AB．

∵OB＝－b，∴AB＝－2b，∴(－b)2＋62＝(－2b)2，解得：b＝，∴AB＝．設平行四邊形OBED的對角線交點為M，作MH⊥OB于點H，則BM＝BD＝AB＝×＝．

∵OD＝AD，∴OD＝DB＝OB，∴∠DBO＝60°，∴∠BMH＝30°，∴BH＝，MH＝，∴OH＝=，∴M（，）．