Question

【題目】P是等邊△ABC內部一點，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，將△ABP逆時針旋轉，使得AB與AC重合，則以PA、PB、PC的長為邊的三角形的三個角∠PCQ：∠QPC：∠PQC= ．

Answer 1

【答案】3：4：2
【解析】解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉60°得△AQC，顯然有△AQC≌△APB，連PQ， ∵AQ=AP，∠QAP=60°，
∴△AQP是等邊三角形，
∴PQ=AP，
∵QC=PB，
∴△QCP的三邊長分別為PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PQC=∠AQC﹣∠AQP=∠APB﹣∠AQP=100°﹣60°=40°，
∠QPC=∠APC﹣∠APQ=140°﹣60°=80°，
∠PCQ=180°﹣（40°+80°）=60°，
∴∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2，
所以答案是：3：4：2．

【考點精析】掌握等邊三角形的性質和旋轉的性質是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．