Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F是DE的中點，連接CF．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若∠A＝22.5°，求證：CE＝CB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據圓周角定理的推論得到∠ACB=∠ACD=90°，根據直角三角形的性質得到CF=EF=DF，求得∠AEO=∠FEC=∠FCE，根據等腰三角形的性質得到∠OCA=∠OAC，于是得到結論；
（2）連接AD，根據三角形的內角和以及對頂角的性質可得到∠OAE=∠CDE=22.5°，再證明△ADO≌△BDO，所以有∠ADO=∠BDO=22.5°，進一步可得出∠CAD=∠ADC=45°，得出AC=CD，最后證明△CDE≌△CAB，即可得出結論．

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵點F是ED的中點，
∴CF=EF=DF，
∴∠AEO=∠FEC=∠FCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO=90°，
∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，
∴CF與⊙O相切；
（2）連接AD，

∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE=∠ACD=90°，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠OAE=∠CDE=22.5°，
∵AO=BO，∠AOD=∠BOD=90°，DO=DO，

∴△ADO≌△BDO（SAS），
∴∠ADO=∠BDO=22.5°，
∴∠ADB=45°，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴AC=CD．

又∠ACB=∠DCE，∠BAC=∠EDC，

∴△CDE≌△CAB（ASA），

∴CE=CB．