Question

【題目】如圖，已知BD為⊙O的直徑，AB為⊙O的一條弦，過⊙O外一點P作PO⊥AB，垂足為點C，且交⊙O于點N，PO的延長線交⊙O于點M，連接BM、AD、AP．

（1）求證：PM∥AD；

（2）若∠BAP＝2∠M，求證：PA是⊙O的切線；

（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為5

【解析】

（1）由圓周角定理推出同位角相等，即可證明；

（2）根據切線的判定定理，證明即可；

（3）連接，根據正切的意義設未知數表示MC、CM，證明∽，進而用未知數表示NC、OM、OC，建立半徑與未知數之間的數量關系，根據OC是△BAD的中位線得OC=AD=3，從而求出未知數，進而求出OM．

（1）證明：∵是直徑，

∴，

∵，

∴，

∴PM∥AD；

（2）證明：如圖1，連接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是半徑，

∴是⊙O的切線；

（3）如圖2，連接，則，

∵，

∴，

設，，

∵是⊙O直徑，，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的中點，是的中點，，

∴，

解得：，

∴，

∴⊙O的半徑為5．