Question

【題目】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是⊙O外一點且滿足∠DCA＝∠B，連接AD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的長；

（3）如圖2，當∠DAB＝45°時，AD與⊙O交于E點，試寫出AC、EC、BC之間的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC的長為4；（3）AC＝BC+EC，理由見解析

【解析】

(1)連接OC,由直徑所對圓周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因為∠DCA=∠B,從而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;

(2) 由題意證明△ACD∽△ABC,根據對應邊成比例列出等式求出AC即可;

(3) 在AC上截取AF使AF＝BC，連接EF、BE，通過條件證明△AEF≌△BEC,根據性質推出△EFC為等腰直角三角形,即可證明AC、EC、BC的數量關系．

(1)證明：連接OC，如圖1所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCB，

∵∠DCA＝∠B，

∴∠DCA＝∠OCB，

∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，

∴CD⊥OC，

∴CD是⊙O的切線；

(2)解：∵AD⊥CD

∴∠ADC＝∠ACB＝90°

又∵∠DCA＝∠B

∴△ACD∽△ABC

∴，即，

∴AC＝4，

即AC的長為4；

(3)解：AC＝BC+EC；理由如下：

在AC上截取AF使AF＝BC，連接EF、BE，如圖2所示：

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

∵∠DAB＝45°，

∴△AEB為等腰直角三角形，

∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，

在△AEF和△BEC中，，

∴△AEF≌△BEC(SAS)，

∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，

∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，

∴∠EFC＝∠ECF＝45°，

∴△EFC為等腰直角三角形．

∴CF＝EC，

∴AC＝AF+CF＝BC+EC．