Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點．對稱軸為直線，點在拋物線上．

（1）如圖1，為直線下方拋物線上的一點，連接、．當的面積最大時，在直線上取一點，過作軸的垂線，垂足為點，連接，．若時，求的值；

（2）將拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線，經過原點．與軸的另一個交點為．設是拋物線上任意一點，點在直線上，能否成為以點為直角頂點的等腰直角三角形？若能、直接寫出點的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）能，P點的坐標為：或 或或

【解析】

(1) 先求出Ａ、Ｂ、C、 D兩點坐標，利用待定系數法求出直線CD的直線方程；如圖1中，過點E作EG //y軸交直線CD于G．設E (m,+2m-3)，則G (m,-2m-3)，GE=--4m．根據S△EDC=·EG·|DX|=(- -4m) ×4=-2 +8，可知m=-2時，△DEC的面積最大，此時E(-2, -3) ，再證明Rt△EHM≌Rt△BON即可解決問題；
（2）假設存在.如圖2中.作P M⊥x軸于M，P N⊥對稱軸|于N，對稱軸l|交0A于K，由△PMF≌△PNQ，推出PM=PN，推出點P在∠MKN的角平分線上，只要求出直線KP的解析式，構建方程組即可求得P、P的坐標，同法可求P、 P4的坐標．

解：（1）由題意A(1,0)，B(-3,0)，C(0,-3)，D(-4,5)，

設直線CD的解析式為y= kx+b,則有
b=-3，-4k+b=5 ∴k=-2，b=-3

∴直線CD的解析式為y=-2x-3
如圖1中，過點E作EG∥y軸交直線CD于G，設E(m,+2m-3)，則G(m,-2m-3)

∴GE=-m-4m

∴S△EDC=·EG·|DX|=(--4m) ×4=-2 +8，

∵-2＜0，∴m=-2時，△DEC的面積最大，此時E(-2,-3)，

∵C(0,-3)，

∴EC∥AB，設CE交對稱軸于H，∵B(1,0)，

∴EH=OB=1，

∵EM=BN，

∴Rt△EHM≌Rt△BON，

∴MH=ON=OC=

∴EM=BN=，

∴EM+MN+MB=

（2）假設存在這樣的點，如圖2，作PM⊥x軸于M，PN⊥對稱軸l于N，對稱軸l交OA于K，

由PQ=PF，∠QPF=90°，∠NQP =∠MFP ，可得△PMF≌△PNQ

∴PM=PN，∴點P在∠MKN的角平分線上，

∵直線KP過(-1,0)，與x軸成45°角，過二、三、四象限，

∴直線KP的解析式為y=-x-1，

∵拋物線向右平移了 3個單位，

∴拋物線y的解析式為y=x-4x，

點P 是拋物線y與直線KP 的交點

由

解得或

∴P，P

同法可知，直線y=x+1與拋物線的交點P3、P4符合條件，

由

解得或

∴P3

P4

綜上所述，滿足條件的點P坐標為：

或 或或