Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，點C是拋物線與y軸的交點．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BCM是等腰三角形，若存在請直接寫出點M坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線頂點坐標為（1，﹣4）

（2）解：∵在y=x2﹣2x﹣3中，當 時， ；當 時， ；拋物線頂點坐標為（1，-4），

∴當0＜x＜3時， 的取值范圍為：﹣4≤y＜0

（3）解：存在.由（1）和（2）可知，拋物線的對稱軸為直線 ，點C的坐標為（0，-3），

∴可設點M的坐標為（1，m），由此可得：CB2=18；CM2= ；BM2= .

①當CB2=CM2時，有 ，解得： ；

②當CB2=BM2時，有 ，解得： ；

③當CM2=BM2時，有 ，解得： ；

綜上所述，存在點M使△BCM是等腰三角形，M的坐標為： 、 、 、 、 .

【解析】（1）方法一、將點A、B的坐標分別代入函數解析式，建立方程組，求出b、c的值，就可求出函數解析式；再求出頂點坐標即可。方法二、根據已知點的坐標特點，設函數解析式為交點式，即可求出函數解析式。
（2）由拋物線的開口方向和頂點坐標，可知當x=1時，y最小值=4，當x=3時，y=0；當x=0時，y=3 ，由此可求出當0＜x＜3時，求y的取值范圍。
（3）利用函數解析式求出點C的坐標，根據已知可知點M在拋物線的對稱軸上，因此設點M的坐標為（1，m），再根據點B、C的坐標，分別表示出CB2、CM2、BM2。然后分情況討論：①當CB2=CM2時，②當CB2=BM2時，③當CM2=BM2時，建立方程求解即可求出點M的坐標。