Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，A(a，0)，C(b，2)，且滿足(a+2)2+=0，過C作CB⊥x軸于B．

(1)求三角形ABC的面積；

(2)如圖②，若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數；

(3)在y軸上是否存在點P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).

【解析】

（1）先依據非負數的性質可求得a、b的值，從而可得到點A、點B和點C的坐標，接下來，依據三角形的面積公式求解即可；
（2）如圖甲所示：過E作EF∥AC．首先依據平行線的性質可知∠ODB=∠6，∠CAB=∠5，接下來，依據平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依據平行線的性質可得到∠1=∠3，∠2=∠4，然后，依據角平分線的性質可得到∠3= ∠CAB，∠4=∠ODB，最后，依據∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4求解即可；
（3）①當P在y軸正半軸上時，設點P（0，t），分別過點P，A，B作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，交于點M，N，然后，用含t的式子表示出AN，CM的長，然后依據S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列出關于t的方程求解即可；②當P在y軸負半軸上時，如圖丙分別過點P，A，B作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，交于點M，N，設點P（0，t），然后用含t的式子表示出AN、CM的長，最后，依據S三角形ACP=S梯形MNAC-S三角形ANP-S三角形CMP列方程求解即可．

解：(1)∵(a+2)2+=0，

∴a+2=0，b-2=0，

∴a=-2，b=2，

∵CB⊥AB，

∴A(-2，0)，B(2，0)，C(2，2)，

∴△ABC的面積=×2×4=4；

(2)∵CB//y軸，BD//AC，

∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，

過E作EF//AC，如圖①

∵BD//AC，

∴BD//AC//EF，

∵AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB，

∴∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，

∴∠AED=∠1+∠2=(∠CAB+∠ODB)=45°

(3)①當P在y軸正半軸上時，如圖②，

設P(0，t)，過P作MN//x軸，AN//y軸，BM//y軸，

∵S△APC=S梯形MNAC-S△CMP-S△ANP=4，

∴-t-(t-2)=4，

解得：t=3，

②當P在y軸負半軸上時，如圖③，設P(0，t)，過P作MN//x軸，AN//y軸，BM//y軸，

∵S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，

∴ +t-(2-t)=4,

解得：t= -1,

∴P(0，-1)或(0，3).

故答案為(1)4；(2)∠AED=45°；(3)P(0，-1)或(0，3).