Question

【題目】某校八年級數學興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．

（1）觀察猜想

如圖1，當點D在線段BC上時，

①CF與BC的位置關系為　 　；

②CF，DC，BC之間的數量關系為　 　（直接寫出結論）；

（2）數學思考

如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，（1）中的①、②結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．

（3）拓展延伸

如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，將△DAF沿線段DF翻折，使點A與點E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2，請求出線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，結論：CD＝CF+BC．理由見解析；（3）CE＝3．

【解析】

（1）①由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；

（2）由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質以及等腰直角三角形的角的性質可得到結論．

（3）過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示，想辦法證明△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CM＝EM＝3，即可解決問題．

解：（1）①

等腰直角△ADF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB與△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠B＝∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；

②△DAB≌△FAC，

∴CF＝BD，

∵BC＝BD+CD，

∴BC＝CF+CD；

故答案為：垂直，BC＝CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，結論：CD＝CF+BC．理由如下：

∵等腰直角△ADF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB與△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，

∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，

∴CF⊥BC．

∵CD＝DB+BC，DB＝CF，

∴CD＝CF+BC．

（3）過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M如圖3所示：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，

∴BC＝AB＝4，AH＝BH＝CH＝BC＝2，

∴CD＝BC＝1，

∴DH＝CH+CD＝3，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝DE，∠ADE＝90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE＝CM，EM＝CN，

∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，

∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，

∴∠ADH＝∠DEM，

在△ADH與△DEM中，

，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，

∴CM＝EM＝3，

∴CE＝＝3．