Question

【題目】如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為12的正三角形，AD是邊BC上的高線，CF是外角ACE的平分線，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），∠APQ ＝60°，射線PQ分別與邊AC，射線CF交于點(diǎn)N，Q．

（1）求證：△ABP∽△PCN；

（2）不管點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，在不添輔助線的情況下，除第（1）小題中的一對(duì)相似三角形外，請(qǐng)寫(xiě)出圖中其它的所有相似三角形；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從BD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N都隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，試探究：能否求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)？若能，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到∠ABP＝∠PCN＝60°，證明∠BAP＝∠CPN，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）因?yàn)?/span>△ABC是正三角形，AD是邊BC上的高線，由三線合一可證△ABD≌△ACD；因?yàn)椤?/span>APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因?yàn)椤?/span>APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因?yàn)?/span>△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）當(dāng)點(diǎn)P在BD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，利用相似三角形性質(zhì)，設(shè)PB＝x，CN＝y，則3≤x≤9，由第（1）題利用相似三角形性質(zhì)可得：，解得，又利用函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＝3或9時(shí)，y＝，當(dāng)x＝6時(shí)，y最大＝3，所以點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：（3－）×2＝1.5．

解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，

∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，

∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，

∴△ABP∽△PCN；

（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；

理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三線合一可證△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；

（3）能，設(shè)PB＝x，CN＝y，由第（1）題可得：，

∴，又3≤x≤9，利用函數(shù)圖象可知：

當(dāng)x＝3或9時(shí)，y＝，當(dāng)x＝6時(shí)，y最大＝3；

∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：（3－）×2＝1.5．