Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝3cm，BC＝4cm，點E是BC上一點，且CE＝1cm．點P由點C出發，沿CD方向向點D勻速運動，速度為1cm/s；點Q由點A出發，沿AD方向向點D勻速運動，速度為cm/s，點P，Q同時出發，PQ交BD于F，連接PE，QB，設運動時間為t(s)(0＜t＜3)．

(1)當t為何值時，PE∥BD？

(2)設△FQD的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數關系式．

(3)是否存在某一時刻t，使得四邊形BQPE的周長最小．若存在，求出此四邊形BQPE的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）；（3）存在，四邊形BQPE的周長的最小值為3+．

【解析】

(1)當時，PE∥BD，由此構建方程即可解決問題．

(2)作FH⊥DQ．首先證明QF∥OA，△QDF是等腰三角形，求出FH即可解決問題．

(3)如圖2中，作B關于直線AD的對稱點B′，點E關于直線CD的對稱點E′，連接B′E′交AD于Q，交CD于P，連接BQ，PE．此時BQ+QP+PE+BE的值最小．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，

，

，

當時，，

，

∴t=s時，PE∥BC．

(2)如圖1中，作FH⊥DQ．

，，

，，

，

∴FQ∥OA，

∴∠FQD＝∠OAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠FDQ＝∠FQD，

∴FQ＝FD，∵FH⊥DQ，

，

，

，

，

∴．

(3)如圖2中，作B關于直線AD的對稱點B′，點E關于直線CD的對稱點E′，連接B′E′交AD于Q，交CD于P，連接BQ，PE．

∵BQ+QP+PE+BE＝B′Q+QP+PE′+BE＝B′E′+BE＝B′E′+3，

∴此時BQ+QP+PE+BE的值最小，

，

∴四邊形BQPE的周長的最小值為3+．