Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B.

(1)填空：A的坐標是_______，B的坐標是___________；

(2)直線y＝﹣x+上有點P(m，n)，且點P在第四象限，設△AOP的面積為S，請求出S與m的函數關系式；

(3)在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)A（1,1），B(3，0)；(2)S=；(3)存在，D(﹣，﹣)，D(，)，D(3，3)或D(，).

【解析】

（1）把直線y=-x+與y=x聯立得出方程組求解即可得出點A的坐標，由直線y=-x+與x軸交于點B，令y=0，求出x的值，即可得出B的坐標；

（2）根據S = S△AOB+ S△POB即可解答；

（3）在直線OA上，存在一點D，使得△DOB是等腰三角形，分四種情況①當OB=OD時，②當OD=OB時，③當OB=DB時，④當DO=DB時分別求解即可．

解：(1)∵直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，

∴聯立得 ，解得，

∴點A(1，1)，

∵直線y＝﹣x+與x軸交于點B，

∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，

∴B(3，0).

(2)S=S△AOB+S△OBP=

(3)在直線OA上，存在一點D，使得△DOB是等腰三角形，

①如圖4，當OB＝OD時，作DE⊥x軸，交x軸于點E

∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°

∴DE＝OE＝，

∴D(﹣，﹣)，

②如圖5，當OD＝OB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E

∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°

∴DE＝OE＝，

∴D(，)，

③如圖6，當OB＝DB時，

∵∠AOB＝∠ODB＝45°，

∴DB⊥OB，

∵OB＝3，

∴D(3，3)，

④如圖7，當DO＝DB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E

∵∠AOB＝∠OBD＝45°，

∴OD⊥DB，

∵OB＝3，

∴OE＝，AE＝，

∴D(，).

綜上所述，在直線OA上，存在點D(﹣，﹣)，D(，)，D(3，3)或D(，)，使得△DOB是等腰三角形.