Question

【題目】我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態三角形例如:某三角形三邊長分別是5，6和8，因為，所以這個三角形是常態三角形.

(1)若△ABC三邊長分別是2，和4，則此三角形 常態三角形(填“是”或“不是”);

(2)如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，連接CD，CD=AB， 若△ACD是常態三角形，求△ABC的面積;，

(3)若Rt△ABC是常態△，斜邊是，則此三角形的兩直角邊的和= .

Answer 1

【答案】(1)是；(2)或；(3) 2+4.

【解析】

（1）直接利用常態三角形的定義判斷即可；

（2）設CD=AD=BD=x，利用勾股定理求出AC2=4x2-36，然后根據常態三角形的定義分情況列方程求出x，進而可得AC的長，最后利用三角形面積公式求解；

（3）由勾股定理和常態三角形的定義得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，求出a：b=，然后設未知數表示出c的長，即可求出a，b的長，進而得出答案．

(1)∵，

∴此三角形是常態三角形；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為AB的中點，

∴CD=AD=BD=AB，

設CD=AD=BD=AB=x，則AB=2x，

由勾股定理得：AC2+62=（2x）2，

∴AC2=4x2-36，

①∵△ACD是常態三角形，
∴CD2+AD2=4AC2，

∴x2+x2=4（4x2-36），

∴x2=，
∴AC2=

∴AC=，

∴△ABC的面積為：×AC×BC=；

②∵△ACD是常態三角形，
∴CD2+AC2=4AD2，

∴x2+AC2=4x2，

∴AC2=3x2，

可得；

解得：x=6，

∴AC=，

∴△ABC的面積為：×AC×BC=，

綜上所述，△ABC的面積為或；

（3）∵Rt△ABC是常態三角形，

設其兩直角邊分別為：a，b，斜邊為c，

則由勾股定理和常態三角形的定義得：a2+b2=c2，a2+c2=4b2，

∴2a2=3b2，

∴a：b=，

設a=x，b=x，

則c=x，

∵斜邊是2，即，

解得：x=，

∴a+b=.