Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)畫(huà)直線EF與AC相交于E，與AB的延長(zhǎng)線相交于F，使BF＝CE．

①已知△CDE的面積為1，AE＝kCE，用含k的代數(shù)式表示△ABD的面積為　 　；

②求證：△AEF是等腰三角形；

（2）如圖2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一點(diǎn)，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，設(shè)∠G＝x，∠BAC＝y，試探究x與y之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，在（1）、（2）的條件下，△AFD是銳角三角形，當(dāng)∠G＝100°，AD＝a時(shí)，在AD上找一點(diǎn)P，AF上找一點(diǎn)Q，FD上找一點(diǎn)M，使△PQM的周長(zhǎng)最小，試用含a、k的代數(shù)式表示△PQM周長(zhǎng)的最小值　 　．（只需直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）①k+1；②見(jiàn)解析；（2）y＝x+45°，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）①先根據(jù)AE與CE之比求出△ADE的面積，進(jìn)而求出ADC的面積，而D中BC中點(diǎn)，所以△ABD面積與△ADC面積相等；②延長(zhǎng)BF至R，使FR＝BF，連接RC，注意到D是BC中點(diǎn)，過(guò)B過(guò)B點(diǎn)作BG∥AC交EF于G．得，再利用等腰三角形性質(zhì)和判定即可解答；

（2）設(shè)∠2＝α．則∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得∠4=α，再結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°聯(lián)立方程即可解答；

（3）分別作P點(diǎn)關(guān)于FA、FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'、P'，則PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P'＝FP，當(dāng)FP垂直AD時(shí)取得最小值，即最小值就是AD邊上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面積即可，根據(jù)AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以將△ADF的面積用k表示出來(lái)，從而問(wèn)題得解．

解：（1）

①∵AE＝kCE，

∴S△DAE＝kS△DEC，

∵S△DEC＝1，

∴S△DAE＝k，

∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1，

∵D為BC中點(diǎn)，

∴S△ABD＝S△ADC＝k+1．

②如圖1，過(guò)B點(diǎn)作BG∥AC交EF于G．

∴，

在△BGD和△CED中，

，

∴（ASA），

∴BG＝CE，

又∵BF＝CE，

∴BF＝BG，

∴，

∴

∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．

（2）如圖2，設(shè)AH與BC交與點(diǎn)N，∠2＝α．

則∠3＝∠1＝2∠2＝2α，

∵AH∥BG，

∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，

∵∠CNH＝∠2+∠4，

∴2α＝α+∠4，

∴∠4＝α，

∵∠4＝∠BCG﹣∠2，

∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，

在△BGC中， ，即：，

在△ABC中， ，即：，

聯(lián)立消去得：y＝x+45°．

（3）如圖3，作P點(diǎn)關(guān)于FA、FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'、P'，

連接P'Q、P'F、PF、P'M、P'F、P'P'，

則FP'＝FP＝FP'，PQ＝P'Q，PM＝P'M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P'FM＝∠PFM，

∴∠P'FP'＝2∠AFD，

∵∠G＝100°，

∴∠BAC＝∠G+45°＝120°，

∵AE＝AF，

∴∠AFD＝30°，

∴∠P'FP'＝2∠AFD＝60°，

∴△FP'P'是等邊三角形，

∴P'P'＝FP'＝FP，

∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP'≥P'P'＝FP，

當(dāng)且僅當(dāng)P'、Q、M、P'四點(diǎn)共線，且FP⊥AD時(shí)，△PQM的周長(zhǎng)取得最小值．

，，，

，

，

當(dāng)時(shí)，，

的周長(zhǎng)最小值為．