Question

【題目】如圖，拋物線交軸于兩點，與軸交于點，連接．點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為．

(1)求此拋物線的表達式；

(2)過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)過點作，垂足為點．請用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，或；；(3) 當時，的最大值為：．

【解析】

(1)由二次函數交點式表達式，即可求解；

(2)分三種情況，分別求解即可；

(3)由即可求解．

解：(1)由二次函數交點式表達式得：，

即：，解得：，

則拋物線的表達式為；

(2)存在，理由：

點的坐標分別為，

則，

將點的坐標代入一次函數表達式：并解得：…①，

同理可得直線AC的表達式為：，

設直線的中點為，過點與垂直直線的表達式中的值為，

同理可得過點與直線垂直直線的表達式為：…②，

①當時，如圖1，

則，

設：，則，

由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，

故點；

②當時，如圖1，

，則，

則，

故點；

③當時，

聯立①②并解得：(舍去)；

故點Q的坐標為：或；

(3)設點，則點，

∵，

∴，

，

∵，

∴有最大值，

當時，的最大值為：．