Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，abc≠0）與直線l都經過y軸上的同一點，且拋物線L的頂點在直線l上，則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關系，并且將直線l叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”．

（1）若“路線”l的表達式為y=2x﹣4，它的“帶線”L的頂點的橫坐標為﹣1，求“帶線”L的表達式；

（2）如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關系，求m，n的值；

（3）設（2）中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點為A．已知點P為“帶線”L上的點，當以點P為圓心的圓與“路線”l相切于點A時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）“帶線”L的表達式為y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）點P的坐標為（， ）．

【解析】試題分析：

（1）由“路線l”的表達式為：y=2x-4可得，“路線l”與y軸交于點（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“帶線L”的頂點坐標為（-1，-6），結合“帶線L”過點（0，-4）即可求得“帶線L”的解析式；

（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“帶線L”的頂點坐標為（1，-1），與y軸交于點（0，m-1），把這兩個點的坐標代入y=nx+1即可求得m、n的值；

（3）如圖，由（2）可知，若設“帶線L”的頂點為B，則點B坐標為（1，﹣1），過點B作BC⊥y軸于點C，連接PA并延長交x軸于點D，由⊙P與“路線”l相切于點A可得PD⊥l于點A，由此證Rt△AOD≌Rt△BCA即可求得點D的坐標，結合點A的坐標即可求得AD的解析式為y=x+1，由AD的解析式和“帶線L”的解析式組成方程組，解方程組即可求得點P的坐標.

試題解析：

（（1）∵“帶線”L的頂點橫坐標是﹣1，且它的“路線”l的表達式為y=2x﹣4

∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，

∴“帶線”L的頂點坐標為（﹣1，﹣6）．

設L的表達式為y=a（x+1）2﹣6，

∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點坐標為（0，﹣4）

∴“帶線”L也經過點（0，﹣4），將（0，﹣4）代入L的表達式，解得a=2

∴“帶線”L的表達式為 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）∵直線y=nx+1與y軸的交點坐標為（0，1），

∴拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與y軸的交點坐標也為（0，1），解得m=2，

∴拋物線表達式為y=2x2﹣4x+1，其頂點坐標為（1，﹣1）

∴直線y=nx+1經過點（1，﹣1），解得n=﹣2；

（3）如圖，設“帶線L”的頂點為B，則點B坐標為（1，﹣1），過點B作BC⊥y軸于點C，

∴∠BCA=90°，

又∵點A 坐標為（0，1），

∴AO=1，BC=1，AC=2．

∵“路線”l是經過點A、B的直線

且⊙P與“路線”l相切于點A，連接PA交 x軸于點D，

∴PA⊥AB，

∴∠DAB=∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

又∵∠DAO+∠BAC=90°，

∴∠ADO=∠BAC，

∴Rt△AOD≌Rt△BCA，

∴OD=AC=2，

∴D點坐標為（﹣2，0）

∴經過點D、A的直線表達式為y=x+1，

∵點P為直線y=x+1與拋物線L：y=2x2﹣4x+1的交點，

解方程組： 得 ： （即點A舍去）， ，

∴點P的坐標為．