Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E，BC＝3，CD＝3

（1）求證：直線CE是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連結OD，如圖，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠3=∠2，于是可判斷OD∥AE，根據平行線的性質得OD⊥CE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）連接BD．根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；

（3）設BD=，AD=2k，根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）連接BD．

∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，

∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴CD2=CBCA，

∴（3）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA-BC=3，

∴⊙O的半徑=；

（3）∵，設BD=，AD=2k，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=9，

∴k=，

∴AD=．