Question

【題目】如圖，一次函數y＝﹣x+的圖象與反比例函數y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點，過點A做x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為1．

（1）求反比例函數的解析式；并直接寫出不等式的解集．

（2）在x軸上求一點P，使|PA﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P點坐標．

（3）連接OB，求三角形AOB的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝ ，1≤x≤4或x＜0；（2）P點坐標為（5，0）；（3）

【解析】

（1）利用△AOM面積求得k的值，然后聯立方程組 ，解此方程組，求得A、B兩點坐標，利用圖像，求得不等式解集；

（2）一次函數y＝﹣ x+ 的圖象與x軸的交點即為P點，此時|PA﹣PB|的值最大，最大值為AB的長；

（3）求出一次函數與x軸交點坐標P,利用S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP求解.

（1）∵反比例函數y＝（k＞0）的圖象過點A，過A點作x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為1，

∴|k|＝1，

∵k＞0，

∴k＝2，

故反比例函數的解析式為：y＝ ，

由，解得 或 ，

∴A（1，2），B（4， ），

由圖像可知不等式 ≤ 的解集為1≤x≤4或x＜0；

（2）一次函數y＝的圖象與x軸的交點即為P點，此時|PA﹣PB|的值最大，最大值為AB的長．

∵A（1，2），B（4，），利用勾股定理可得

∴AB＝ ，

∴|PA﹣PB|的最大值為 ；

∵一次函數y＝﹣ x+，

令y＝0，則﹣ x+＝0，解得x＝5，

∴P點坐標為（5，0）；

（3）∵P（5，0），

∴OP＝5，

∴S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝ ×5×2﹣ ＝ ．