Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0， ）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點G為拋物線上的一動點，過點G作GE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點G的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0， ），

∴設拋物線的解析式是y=a（x﹣5）（x+1）1），

則 =a×（﹣5）×1，解得a=﹣ ．

則拋物線的解析式是y=﹣ （x﹣5）（x+1）=﹣ x2+2x+

（2）

解：存在．

當點A為直角頂點時，過A作AP⊥AC交拋物線于點P，交y軸于點H，如圖．

∵AC⊥AP，OC⊥OA，

∴△OAC∽△OHA，

∴ = ，

∴OA2=OCOH，

∵OA=5，OC= ，

∴OH=10，

∴H（0，﹣10），A（5，0），

∴直線AP的解析式為y=2x﹣10，

聯立 ，

∴P的坐標是（﹣5，﹣20）．

（3）

解：∵DF⊥x軸，DE⊥y軸，

∴四邊形OFDE為矩形，

∴EF=OD，

∴EF長度的最小值為OD長度的最小值，

當OD⊥AC時，OD長度最小，

此時S△AOC= ACOD= OAOC，

∵A（5，0），C（0， ），

∴AC= ，

∴OD= ，

∵DE⊥y軸，OD⊥AC，

∴△ODE∽△OCD，

∴ = ，

∴OD2=OECO，

∵CO= ，OD= ，

∴OE=2，

∴點G的縱坐標為2，

∴y=﹣ x2+2x+ =2，

解得x1=2﹣ ，x2=2+ ，

∴點G的坐標為（2﹣ ，2）或（2+ ，2）．

【解析】（1）運用待定系數法就可求出拋物線的解析式；（2）以A為直角頂點，根據點P的縱、橫坐標之間的關系建立等量關系，就可求出點P的坐標；（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，根據垂線段最短可得當OD⊥AC時，OD（即EF）最短，然后只需求出點D的縱坐標，就可得到點P的縱坐標，就可求出點P的坐標．