Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞 點P逆時針旋轉90°得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側，連接EF、CF．

(1)如圖①，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形．

(2)如圖②，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論；

（2）由正方形的性質可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質就可以得出結論．

試題解析：(1)證明：∵在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90，

又∵BF=BP，

∴△BCF≌△BAP(SAS)，

∴CF=AP，∠BFC=∠BPA．

又由旋轉得：∠EPA=90，PA=PE，

∴PE=CF．∵∠BFC+∠BCF=90

∴∠BPA+∠BCF=90，

∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180，

∴PE∥CF．

∴四邊形PCFE為平行四邊形．

(2)四邊形PCEF是平行四邊形．

證明：同(1)得：△BCF≌△BAP，

∴∠BCF=∠BAP，AP=CF．

由旋轉得：AP=PE，∠EPA=90，

∴PE=CF．

∴∠BPE+∠BPA=90，

∵在△ABP中，∠ABP=90

∴∠BAP+∠BPA=90，∠BPE=∠BAP，

∴∠BPE=∠BCF，

∴PE∥CF，

∴四邊形PCFE為平行四邊形．