Question

【題目】問題1如圖①點A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半徑是3.求弧AC的長.

問題2如圖②點A、B、C、D在⊙上，且弧AD=弧BC，E是AB的延長線上的.

(1)設BD=nBF，則n=________;

(2)如圖③若G是線段BD上的一個點，且.試探究，在⊙上是否存在點P (B除外)使PG=PF?為什么?

Answer 1

【答案】問題1：；問題2：(1)；(1)詳見解析

【解析】

問題一：根據弧長的計算公式，根據∠ABC=120°，找到∠AOC的度數，再由弧長公式計算出弧AC的長即可；

問題二：(1)連接AC，易證AC=3BF，然后再證明AC=BD，可得到n的值；

(2) 由（1）可證BG=BF，過點B作AE的垂線，與圓的交點即是點P.

問題一：解：如圖，連接OA和OC

∵∠ABC=120°

∴∠AOC=360°-2∠ABC=120°

∴==

問題2：解：(1)如圖，連接AC

∵弧AD=弧BC

∴弧BD=弧AC

∴BD=AC

∵

∴，∠BEF=∠AEC

∴△BEF∽△AEC

∴

∴，即3BF=BD

∴n=3

(2) 如圖，連接GF,過點B作AE的垂線，與GF交于點H，與圓的交點即是點P

由(1)得△BEF∽△AEC，

∵

∴BF=BG

∴△BGF為等腰三角形

∴∠FBE=∠CAE

∵弧AD=弧BC

∴∠ABD=∠CAB

∴∠DBA=∠FBE

∵∠ABH=∠EBH=90°

∴∠DBH=∠FBH

∴BH為GF的中垂線

∴PG=PF

故存在P.