Question

【題目】（1）如圖1，AB∥CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度數．

（2）如圖2，已知AB∥CD，CF平分∠DCE，∠EBF＝2∠ABF，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數．

（3）如圖3，若P是（2）中的射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ∥GN，PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE＝40°；（2）∠ABE＝30°；（3）∠MGN＝15°

【解析】

（1）過E作EM∥AB，根據平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可；

（2）過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，根據平行線的判定與性質，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；

（3）過P作PL∥AB，根據平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義解答即可．

解：（1）過E作EM∥AB，

∵AB∥CD，

∴CD∥EM∥AB，

∴∠ABE＝∠BEM，

∠DCE＝∠CEM，

∵CF平分∠DCE，

∴∠DCE＝2∠DCF，

∵∠DCF＝30°，

∴∠DCE＝60°，

∴∠CEM＝60°，

又∵∠CEB＝20°，

∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，

∴∠ABE＝40°；

（2）過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，

∵∠EBF＝2∠ABF，

∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，

∵CF平分∠DCE，

∴設∠DCF＝∠ECF＝y，則∠DCE＝2y，

∵AB∥CD，

∴EM∥AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEM＝2y，

∠BEM＝∠ABE＝3x，

∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，

同理∠CFB＝y﹣x，

∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，

∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，

∴∠ABE＝3x＝30°；

（3）過P作PL∥AB，

∵GM平分∠DGP，

∴設∠DGM＝∠PGM＝y，則∠DGP＝2y，

∵PQ平分∠BPG，

∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，

∵PQ∥QN，

∴∠PGN＝∠GPQ＝x，

∵AB∥CD，

∴PL∥AB∥CD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，

∠BPL＝∠ABP＝30°，

∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，

∴30°＝2y﹣2x，

∴y﹣x＝15°，

∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，

∴∠MGN＝15°．