Question

【題目】在中，，OA平分交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作圓交BC于點D．

（1）如圖1，求證：AB為的切線；

（2）如圖2，AB與相切于點E，連接CE交OA于點F．

①試判斷線段OA與CE的關系，并說明理由．

②若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①OA垂直平分CE，理由見解析；②

【解析】

（1）過點O作OG⊥AB，垂足為G，利用角平分線的性質定理可得OG=OC，即可證明；

（2）①利用切線長定理，證明OE=OC，結合OE=OC，再利用垂直平分線的判定定理可得結論；

②根據求出OF和CF，再證明△OCF∽△OAC，求出AC，再證明△BEO∽△BCA，得到，設BO=x，BE=y，可得關于x和y的二元一次方程組，求解可得BO和BE，從而可得結果.

解：（1）如圖，過點O作OG⊥AB，垂足為G，

∵OA平分交BC于點O，

∴OG=OC，

∴點G在上，

即AB與相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：

連接OE，

∵AB與相切于點E，AC與相切于點C，

∴AE=AC，

∵OE=OC，

∴OA垂直平分CE；

②∵，

則FC=2OF，在△OCF中，

，

解得：OF=，則CF=，

由①得：OA⊥CE，

則∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，

∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，

∴△OCF∽△OAC，

∴，即，

解得：AC=6，

∵AB與圓O切于點E，

∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，

∴△BEO∽△BCA，

∴，設BO=x，BE=y，

則，

可得：，

解得：，即BO=5，BE=4，

∴tanB==.